それぞれ違うものではあります。
みき
水を含んだうるち米を砕き、煮て麦芽を加え、冷まして濾す。
http://www.mikiya-okinawa.com/dekirumade.html
鹿児島県、沖縄県には「みき」と呼ばれる米を原料とした独特の飲料が伝えられており、清涼飲料としても市販されている。これは砕いた米に砂糖を加えて自然発酵させたものである。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A5%9E%E9%85%92#.E3.81.9D.E3.81.AE.E4.BB.96
あまがし
押し麦は一晩、緑豆は2時間くらい水につけておき、鍋で20分ほど煮込む。好みによって白玉を入れてもよい。また、古くは麦の粥に米麹を入れて二、三日発酵させるやり方であった。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%82%E3%81%BE%E3%81%8C%E3%81%97
げんまい
玄米を臼で挽き黒糖や生姜で風味付けして作っていた飲み物
http://www.ryukyuyakuzen.com/shopping/html/product2.html水に浸した穀物を砕いて味を整えた飲み物というのが共通してますね。
古波蔵保好さんの本にあまがしについて触れている部分がありますので引用します。
首里の旧家で育った人の話によると、「あまがし」とは大麦を臼でついて割り、水タップリの粥に炊いてから青こうじをいれて、一晩発酵させたもののことだったそうである。
いわば大麦の粥で、酸味のある飲み物だ。碗にとって、すする前に、少しの砂糖を加えて、味を整えたらしい。（略）
いつのころからか、そういう「あまがし」は忘れられて、わたしの家でつくったのは、もやしの材料にも使われる青い豆「ささげ」といわれる豆と大豆を煮て、黒砂糖の甘さを加えたものであった。
現在、「あまがし」といわれているのは、すべてこの大麦と青豆による甘い汁である。
料理沖縄物語／古波蔵保好 p92（一部編集）手作り可能であると思うんですが、今の家庭で発酵を伴う食物の手作りはできないでしょうね。痛み豆腐の「るくじゅう」もそうなんですが、発酵による酸味を“危ない味・危険信号”としてしか現代の家庭は捉えられないでしょう。
オチはありません。
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